Asymptotic expansions for interior penalty solutions of control constrained linear-quadratic problems

We consider a quadratic optimal control problem governed by a nonautonomous affine differential equation subject to nonnegativity control constraints. For a general class of interior penalty functions, we show how to compute the principal term of the pointwise expansion of the state and the adjoint state. Our main argument relies on the following fact: If the control of the initial problem satisfies strict complementarity conditions for its Hamiltonian except for a finite number of times, the estimates for the penalized optimal control problem can be derived from the estimations of a related stationary problem. Our results provide several types of efficiency measures of the penalization technique: error estimations of the control for L norms (s in [1,+∞]), error estimations of the state and the adjoint state in Sobolev spaces W 1,s (s in [1,+∞)) and also error estimates for the value function. For the L norm and the logarithmic penalty, the optimal results are given. In this case we indeed establish that the penalized control and the value function errors are of order O(ε| log ε|). Key-words: Optimal control, interior-point algorithms, sensitivity, expansion of value function and solutions. ∗ Department of Mathematical Engineering, Universidad de Chile and Centre for Mathematical Modelling, Universidad de Chile-CNRS. Casilla 170-3 Santiago 3, Chile. This author was partially supported by grants from FONDECYT 1050706 and the Millennium Scientific Institute on Complex Engineering Systems funded by MIDEPLAN-Chile ([email protected]) † Université Paris 06, Equipe Combinatoire et Optimisation, UMR 7090, Case 189, 75252 Paris, France and INRIA-Saclay and CMAP, École Polytechnique, 91128 Palaiseau, France ([email protected]) ‡ INRIA-Saclay and CMAP, École Polytechnique, 91128 Palaiseau, France ([email protected]) § INRIA-Saclay and CMAP, École Polytechnique, 91128 Palaiseau, France ([email protected]) Développements asymptotiques pour les solutions intérieures de pénalité d’un problème linéaire quadratique avec contraintes sur la commande Résumé : On considère un problème de commande optimale dont la fonction coût est quadratique et la dynamique est régie par une équation différentielle ordinaire. Pour une classe générale de fonctions de pénalité intérieure, on montre comment calculer le terme principal du développement ponctuelle de l’état et de l’état adjoint. Notre argument principal se base sur le fait suivant: Si la commande optimale pour le problème initial satisfait les conditions de complémentarité stricte pour son Hamiltonien sauf en un nombre fini d’instants, les estimations pour le problème de commande optimale pénalisé peuvent être obtenues à partir des estimations pour un problème stationnaire associé. Nos résultats fournissent plusieurs types de mesures d’efficacité pour la technique de pénalisation: estimations des erreurs de la commande pour les normes L (s dans [1,+∞]), estimations des erreurs pour l’état et l’état adjoint dans les espaces de Sobolev W 1,s (s dans [1,+∞)) et aussi des estimations des erreurs pour la fonction valeur. Pour la norme L et la pénalisation logarithmique, on montre que les erreurs pour la commande optimale du problème pénalise et pour la fonction valeur sont de l’ordre O(ε| log ε|). Mots-clés : Commande optimale, algorithmes de point intérieur, sensibilité, développement de la valeur et des solutions. Asymptotic expansions for interior solutions of linear-quadratic problems 3